Förväntad avkastning under varje period måste vara positiv (alltså den aritmetiska) för att geometrisk avkastning troligen ska vara positiv för många antal perioder. Det går att visa med hjälp av centrala gränsvärdessatsen (CLT) och Jensens ojämlikhet:
Här har jag definierat geometriskt medelvärde av en portfölj som vid varje period har avkastning ri. Man kan studera logaritmen av denna som då efter många perioder kommer konvergera mot dess medelvärde E[log(1+r)]. För att detta ska ha en chans att vara positivt (så att geometrisk avkastning är positiv) så måste väntevärdet för portföljen E[r]>0 va positivt. I exemplet som används i den länkade tråden är så fallet E[r] = 0.5 * 0.5 * (0.5-0.33) + 0.5 * 0 = 0.042, det vill säga 50/50 att man får avkastning +50%/-33% kombinerat med riskfri avkastning på 0%.
Too Much Math / Didn’t Read :
Aritmetisk avkastning för portföljen måste vara positiv oberoende av vad korrelationen mellan tillgångsslagen är för att få positiv geometrisk avkastning (dvs värdetillväxt).
: