Matematiken bakom hävstångsfonder - sammanfattning
Stort tack till @Emil_N, @RobertK och @Marknadstajmarn för alla inlägg - nu känner jag äntligen att jag börjar få grepp på matematiken bakom hävstångsfonder!
Tråden har varit lite spretig, så jag sammanfattar matematiken och mina slutsatser i detta inlägg för nya läsare, för att underlätta eventuella invändningar av @Emil_N, och för framtida referens:
Steg 1: Geometrisk avkastning utan hävstång
Alla tillgångar med volatilitet >0% drabbas av volatility drag, dvs urholkning av aritmetiska avkastningen, enligt:
R(g) = R(a) - 0,5 * v^2
R(g) = geometrisk avkastning (CAGR)
R(a) = aritmetisk avkastning (årlig medelavkastning)
v = volatilitet
Källor
Välkänd formel, se ex:
Steg 2: Effekter av linjär hävstång
Vi beräknar nu effekten av linjär hävstång på en buy-and-hold position, t.ex. genom att använda portföljbelåning eller köpa en mini future. Linjär hävstång innebär att hävstången inte justeras, och därmed automatiskt sjunker när underliggande tillgång stiger (eftersom krediten utgör en mindre andel av portföljvärdet), och ökar när underliggande tillgång sjunker (eftersom krediten utgör en större andel av portföljvärdet).
Avkastningen blir helt enkelt underliggande CAGR multiplicerat med hävstången som förelåg vid köpet:
RL(g) = k * (R(a) - 0,5 * v^2)
RL(g) = geometrisk avkastning (CAGR) med linjär hävstång
R(a) = aritmetisk avkastning (årlig medelavkastning)
k = initial hävstångsnivå
v = volatilitet
OBS! Såsom påpekat av @Marknadstajmarn i detta inlägg gäller ovanstående endast för år 1. Om hävstången inte ombalanseras kommer den sedan gradvis gå mot 1 (förutsatt att underliggande stiger) och RL(g) därmed gradvis gå mot R(g).
Steg 3: Effekter av konstant hävstång
Vi beräknar nu effekten av konstant hävstång på en buy-and-hold position, t.ex. genom att köpa en hävstångsfond med regelbundet ombalanserad hävstång såsom Carnegie Global Plus, Nordnet 125, eller Avanza Auto 6. Konstant hävstång innebär att förvaltarna försöker hålla hävstången på samma nivå, genom att köpa mer när underliggande tillgång stiger, och sälja av när underliggande tillgång sjunker.
Denna process resulterar i 2 unika effekter, som skiljer avkastningen från den vid linjär hävstång:
- “Hävstångsurholkning”, dvs extra volatility drag som uppstår eftersom fonden tvingas köpa dyrt/sälja billigt.
- “Trendavkastning”, dvs extra avkastning som uppstår eftersom fonden köper mer och mer av tillgångar i stigande trend, och säljer av mer och mer av tillgångar i sjunkande trend.
Hävstångsurholkningen beräknas enligt:
HU = 0,5 * k * (k - 1) * v^2
HU = hävstångsurholkning
k = hävstångsnivå
v = volatilitet
Trendavkastningen beräknas enligt:
TA = 0,5 * k * (k - 1) * R(g)^2
TA = trendavkastning
k = hävstångsnivå
R(g) = geometrisk avkastning (CAGR) för underliggande tillgång utan hävstång
Källor
- Detta inlägg av @Emil_N (sektion “volatilitetsrelaterad avkastning”)
- Detta inlägg av @Emil_N (längre härledning)
Fullständigt uttryck:
Avkastningen blir därmed avkastningen vid linjär hävstång, med tillägg av ovanstående effekter:
RK(g) = RL(g) - HU + TA
RK(g) = geometrisk avkastning (CAGR) med konstant hävstång
RL(g) = geometrisk avkastning (CAGR) med linjär hävstång
HU = hävstångsurholkning
TA = trendavkastning
Tittar vi på formlerna ser vi att TA > HU när CAGR > volatiliteten. Alltså lönar det sig med konstant hävstång (istället för linjär) när förväntad avkastning > volatiliteten.
Vi kan substituera in uttrycket för HU och TA och förenkla till:
RK(g) = k * R(a) - 0,5 * (k * v)^2 + TA
Notera hur denna formel (minus TA) blir identisk med formeln i steg 1, om både den aritmetiska avkastningen och volatiliteten multipliceras med hävstången k.
Källor
Denna formel bekräftas även i:
Hade jag rätt i min kritik mot Carnegie Global Plus?
I mitt tidigare inlägg, där jag kom fram till att förväntad avkastning på Carnegie Global Plus är lägre än en obelånad globalfond, använde jag mig naivt av ovanstående formel (utan att känna till den):
RK(g) = k * R(a) - 0,5 * (k * v)^2 + TA
Jag kände dock inte till termen TA (trendavkastning), och räknade inte med den. Det betyder att jag underskattade avkastningen. Att det föreligger en trendavkastning är tydligt i graferna som postats i tråden, både för Carnegie Global Plus samt Carnegie Bull/XACT BULL, där vi ser att nästan all överprestation kommer från perioden april 2020-nu. Aktier har haft dominerande positiv trend under denna period.
Jag korrigerar nu min tidigare uträkning med mina nya insikter:
Antaganden
- Aritmetisk riskpremie: 6%
- Volatilitet: 17%
- Riskfri ränta: 2,5%
- Avgift: 0,95%
- Lånekostnad: [riskfri ränta] + 1% påslag
(Notera att hävstången inte tillämpas på riskfria räntan, eftersom den belånade delen inte erhåller detta.)
Beräkningar
Steg 1: Beräkna den geometriska avkastningen med konstant hävstång (exklusive trendavkastning)
RK(g) utan TA = k * R(a) - 0,5 * (k * v)^2
RK(g) utan TA = 1,4 * 6% - 0,5 * (1,4 * 17%)^2 = 5,57%Steg 2: Beräkna geometrisk avkastning för underliggande tillgång utan hävstång
R(g) = R(a) - 0,5 * v^2
R(g) = 6% - 0,5 * 17%^2 = 4,56%Steg 3: Beräkna trendavkastningen
TA = 0,5 * k * (k - 1) * R(g)^2
TA = 0,5 * 1,4 * 0,4 * (4,56%)^2 = 0,058%Steg 4: Beräkna total geometrisk avkastning med konstant hävstång (inklusive trendavkastning)
RK(g) = RK(g) utan TA + TA = 5,57% + 0,058% = 5,628%Steg 5: Beräkna lånekostnaden
Lånekostnad = (Belånad andel / Total portfölj) * (Lånepåslag)
Lånekostnad = (0,4/1,4) * 1% = 0,286%
Notera att vi redan har tagit hänsyn till grundlånekostnaden med riskfri ränta, eftersom vi inte tillämpade hävstången på denna.Steg 6: Beräkna förväntad nettoavkastning
Förväntad CAGR efter avgifter = [Geometrisk riskpremie] + [Riskfri ränta] - [Avgift] - [Lånekostnad]
Förväntad CAGR efter avgifter = 5,628% + 2,5% - 0,95% - 0,286% = 6,89%
Ny beräknad förväntad CAGR på Carnegie Global Plus blir alltså 6,89%. Motsvarande CAGR på den obelånade globalfonden var 6,85%. Trendavkastningen gör alltså att Carnegie Global Plus nätt och jämnt vinner, men skillnaden är marginell.
Svar på frågor från @Preppern
Jag håller inte med om förväntad överavkastning på 1-2 procentenheter. Till att börja med vill jag bara påpeka - när @Emil_N skriver följande:
Så menar han att utvecklingen kan simuleras i efterhand, utifrån realiserad avkastning, räntenivåer och volatilitet för underliggande OMXS30GI.
Det finns ingen som på förhand kan estimera utvecklingen av en fond så exakt - hade man kunnat det hade man inte behövt förvalta en fond eftersom man redan hade haft alla pengar man någonsin kunnat önska. Detta kanske var självklart, men ville bara förtydliga.
Jag tror att siffran 1-2 procentenheter är baserad på optimistiska antaganden från 2013, där nästan all överavkastning kommit från senaste åren då aktier haft onormalt stark positiv trend och mer än dubbelt så hög riskjusterad avkastning som sitt historiska snitt. @Emil_N, visa gärna vilka antaganden ni använt för detta påstående och rätta mig gärna om jag har fel 
Ja, det kan man! Vi kan föreställa oss en hypotetisk alternativ fond, “Carnegie Global Minus”, som har samma förväntade avkastning som Plus, men är perfekt antikorrelerad, så att fonderna motsvänger mot varandra.
En portfölj som hade kombinerat dessa fonder och ombalanserat mellan dem hade haft en nettovolatilitet på 0%, och därmed kunnat erhålla hela den aritmetiska avkastningen utan volatility drag. Det är detta som kallas “ombalanseringspremien”.
I verkligheten finns förstås ingen sådan perfekt antikorrelerad fond, men vi kan uppnå nästan samma effekt genom att kombinera multipla okorrelerade tillgångar i lämpliga vikter tillsammans med fonden. Det är detta vi sysslar med i min allväderstråd.
Slutsatser:
-
Carnegie Global Plus har, efter avgifter, marginellt högre förväntad avkastning än en obelånad global indexfond, men knappast med påstådda 1-2 procentenheter - snarare <0,1 procentenhet per år enligt mina beräkningar.
-
Fonder med konstant hävstång (till skillnad från linjär hävstång) drabbas av 2 unika effekter: hävstångsurholkning och trendavkastning. Hävstångsurholkning uppstår när fonden köper dyrt/säljer billigt, och trendavkastning uppstår när fonden köper/säljer in i pågående trender.
-
Om underliggande tillgång i en fond med konstant hävstång k har CAGR > volatilitet så kommer trendavkastningen vara > hävstångsurholkningen, och förväntad avkastning blir högre än k * CAGR.
-
Om underliggande tillgång i en fond med konstant hävstång k har CAGR < volatilitet så kommer trendavkastningen vara < hävstångsurholkningen, och förväntad avkastning blir lägre än k * CAGR.
I verkligheten finns det i princip inga klassiska tillgångsslag med CAGR > volatilitet (dvs Sharpe >1), så konstant hävstång är oftast sämre än linjär. Det är alltså generellt bättre att belåna själv, om man har möjligheten. Notera dock att även linjär hävstång behöver ha en strategi för ombalansering av hävstång på ett eller annat sätt, annars går hävstången mot 1 över tid (förutsatt att underliggande stiger). Jag anser dock att det finns bättre strategier för detta som minskar urholkningen, och ger förslag på en sådan i detta inlägg.
Beträffande vadet av @janbolmeson håller jag ändå fast vid min ståndpunkt, eftersom jag tror att de andra argumenten mot fonden (smalt index, valutadynamik, höga värderingar idag, risk för nedläggning) överväger 0,1 procentenhet i förväntad avkastning.