Två barn, minst en dotter, vad är sannolikheten?

Det var för mycket siffror för min smak… jag gillar mer väldigt enkla (i ord) problem som är väldigt ointuitiva, ex:

Familjen Andersson har två barn varav minst ett är en flicka. Vad är sannolikheten att båda barnen är flickor?

1 gillning

Ena är redan känd så frågan är bara vad andra är. Så mitt svar är 50%

4 gillningar

1/3 (10 tecken)

5 gillningar

33%?

Finns tre utfall där det är minst en flicka:
Flicka Pojke
Pojke Flicka
Flicka Flicka

1 gillning

1/3 är “naturligtvis” rätt :slight_smile:

Om man däremot säger “Familjen Andersson har två barn varav den äldsta är en flicka” så blir sannolikheten 1/2. Men det blir ännu lustigare… (brasklapp: om jag inte minns det fel) så räcker det med att veta något unikt, dvs något som inte kan vara sant för båda barnen, för att sannolikheten blir 1/2 istället för 1/3.

Så om man formulerar det som:

Familjen Andersson har två barn varav minst ett är en flicka som heter Sara (om vi förutsätter att man inte döper två flickor till samma sak). Vad är sannolikheten att båda barnen är flickor?

Så blir svaret 1/2 istället för 1/3 … :smiley:

2 gillningar

Det här var ju lite av en kuggfråga/tolkningsfråga tycker jag. Jag tänker också 50% enligt @E.D resonemang att vi fick lyxen att veta barn X men inte Y!

Men jag hänger med på kluringen :wink:

1 gillning

Den var :+1: Inte för svår men samtidigt måste man tänka till ordentligt. Perfekt för en middag med vänner efter något glas vin

3 gillningar

Att det blir 1/2 om man låser förstfödd är uppenbart då de enda möjligheterna på födslar blir (f, p) respektive (f,f). Fallet (p,f) har tagits bort ur utfallsrymden.

Unik egenskap är däremot något du minns fel eller formulerat fel här. Du kan fortfarande bara få (p,p), (p,f), (f,p), (f,f) dvs tre utfall med flicka och 1 med två flickor. Om något av f:en sedan har en Sara-egenskap eller blå hatt på sig påverkar inget.

EDIT: Det där med unik egenskap tror jag kan handla om en luring där man diskuterar hur det kan gå fel om man är lite oaktsam i analys av utfallsrymd. Om man kan få en pojke eller en flicka, och döpa en flicka till sara eller något annat (x), så blir möjliga utfall på hur barnen föddes

(p,p), (p,s),(s,p),(s,x),(x,s)

Nu kan man alltså få för sig att det är 2/4 som ger två flickor, men problemet är att man dubbelräknar det sista paret, för det är ju bara 1/4 att man har fallet ((s,x) eller (x,s))

7 gillningar

Ja, det kanske är en förenkling som inte stämmer, men jag får det till 1/2 genom att strunta i ordningen de föds:

  • Vi har antingen en Sara och en pojke (oavsett vilken ordning de föddes)

  • Eller en Sara och en flicka med annat namn än Sara (oavsett vilken ordning de föddes)

Det gör definitivt skillnad att veta något mer om barnet iaf, exempelvis vilken veckodag det föddes på:

Suppose we were told not only that Mr. Smith has two children, and one of them is a boy, but also that the boy was born on a Tuesday: does this change the previous analyses? Again, the answer depends on how this information was presented – what kind of selection process produced this knowledge.

Following the tradition of the problem, suppose that in the population of two-child families, the sex of the two children is independent of one another, equally likely boy or girl, and that the birth date of each child is independent of the other child. The chance of being born on any given day of the week is 1/7.

From Bayes’ Theorem that the probability of two boys, given that one boy was born on a Tuesday is given by [formler…]

If ε is now set to 1/7, the probability becomes 13/27, or about 0.48. In fact, as ε approaches 0, the total probability goes to 1/2, which is the answer expected when one child is sampled (e.g. the oldest child is a boy) and is thus removed from the pool of possible children. In other words, as more and more details about the boy child are given (for instance: born on January 1), the chance that the other child is a girl approaches one half.

It seems that quite irrelevant information was introduced, yet the probability of the sex of the other child has changed dramatically from what it was before (the chance the other child was a girl was 2/3, when it was not known that the boy was born on Tuesday).

Tänkte likadant, dvs, att man frågar efter P(f|f) (=0.5), men frågan är P((f,f) | !(p,p)), så då blir det som @Ahfan skrev.

2 gillningar

Den som ställer frågan vill luras och har medvetet valt en familj med två flickor. Svaret är alltså 100%

Som sagts tidigare beror det på hur urvalet gjorts och i de flesta situationer skulle svaret vara 1/3 eller 1/2. 100% som jag skrivit ovan är kanske lite krystat men jag kan komma med flera rimliga scenarion där 1/2 är det korrekta svaret (likaså 1/3).

Ett exempel där svaret blir 1/2 är om frågan lika väl hade kunnat vara den omvända.

  • Familjen Andersson har två barn varav minst ett är en flicka. Vad är sannolikheten att båda barnen är flickor?
  • Familjen Svensson har två barn varav minst ett är en pojke. Vad är sannolikheten att båda barnen är pojkar?

Om båda barnen är av samma kön hade den som ställer påståendet/frågan bara kunna välja det könet. Men i det fallet det är olika kön på barnen, blir det slumpmässigt om påståendet/frågan blir om pojkar eller flickor. Påståendet ger därför ingen ny information och svaret är att det är 50% att det andra barnet är pojke/flicka.

Det subtila ligger i att det inte handlar om att du vet vad ett barn heter, utan att ett urval gjorts och man måste veta om namnet har använts för att filtrera urvalet

Om man letat efter familjer med minst 1 flicka dvs (p,f),(f,p),(f,f)-familjer så kommer man landa i standardfallet att 33% sannolikhet att det andra barnet är flicka och om någon bara berättar vad ett av barnet heter så hjälper det mig inte alls för att lista ut om det andra barnet är en flicka eller ej.

Nu kan man dock göra ett annat urval där man bara låter (p,f),(f,p),(f,f)-familjer gå vidare om dessutom minst en av flickorna har en viss egenskap. Om det är en väldigt vanlig egenskap kommer alla famijer gå vidare i urvalet, men om det är en osannolik egenskap så kommer inte alla gå vidare, och det visar sig att urvalet blir skevt. Eftersom vi testar egenskaperna på flickorna och bara låter familjen gå vidare om någon av flickorna har den ovanliga egenskapen, så kommer (f,f)-familjer skickas vidare oftare eftersom vi har två individer att testa den ovanliga egenskapen på. Om man nu berättar för mig att man letat upp familjer med minst en flicka som heter Sara, här är en av dessa familjer, och vad är sannolikheten att det finns två flickor i denna familj, så blir den sannolikheten lite större än 1/3 och går mot 1/2 desto mer osannolik egenskapen är.

1 gillning

Liknande gåta:
Antag att du är med i ett spel. Spelet går ut på att du ska välja en dörr av tre. Bakom två av dörrarna står det en get och bakom en av dörrarna står det en splitterny bil.

Efter att du har valt en dörr, öppnar spelledaren en av de andra dörrarna och visar att det gömde sig en get bakom den dörren. Efter det frågar spelledaren om du vill behålla din dörr, eller om du vill byta? Om du väljer dörren med bilen bakom, vinner du bilen.

Du vill ha bilen, så vad ska du göra?

För dom som inte sett problemet eller direkt ser lösningen, så är det bästa att göra ett reductio ad absurdum och först lösa:

Antag att du är med i ett spel. Spelet går ut på att du ska välja en dörr av 1000. Bakom 999 av dörrarna står det en get och bakom en av dörrarna står det en splitterny bil.

Efter att du har valt en dörr, öppnar spelledaren (som vet var bilen står) 998 av de andra dörrarna och visar att det gömde sig en get bakom de dörrarna. Efter det frågar spelledaren om du vill behålla din dörr, eller om du vill byta? Om du väljer dörren med bilen bakom, vinner du bilen.

Monty hall är enkelt, eftersom det bygger på att man vet att spelledaren vet var rätt dörr är.

Därmed ändras de underliggande de variablerna. När spelledaren tillför information genom att öppna en dörr med en get bakom.

Prova att tänka dig samma problem med 1 miljon dörrar där spelledaren öppnar alla oöppnade dörrar förutom en och frågar om du vill byta. Då blir svaret uppenbart att du vill byta.

Jag tänkte också att det liknade Monty Hall.

Det intressanta med Monty Hall är om man tänker att presentatören i vissa spelomgångar väljer att inte avslöja en dörr. Vad blir sannolikheten då i de fallen han avslöjar en dörr?

Ja precis, och som man ser i Wikipedia-exemplet så räcker veckodag (bara 7 alternativ) till för att putta sannolikheten från 0.33 till 0.48. Då kan man ju tänka hur många alternativ det finns på namn för att inse att det blir väldigt nära 0.5.

EDIT:

@CarlJohan Är med på hur du tänker här, det blir lättare att förstå/inse hur det fungerar då. Men … om man stöter på en slumpmässig tvåbarns-familj på stan och endast får veta att dom har en flicka som Sara, finns inte den sannolikheten/skevheten med även där, fastän man bara har ett datapunkt så att säga?

Har du tagit med i beräkningen att det föds fler pojkar än flickor? :slight_smile:

2 gillningar

Handlar det om biologiskt kön eller hur individen själv definerar sig? Det överensstämmer ju inte alltid. Det finns ju också ovanliga tillstånd där personen ser ut att tillhöra ett kön, uppfattar sig själv att tillhöra det könet och uppfattas även av andra att tillhöra det könet men där kromosomanalys visar att personen faktiskt tillhör ett annat kön.